DIOFANT-DAVENPORTOV PROBLEM ZA GAUSSOVA CELA ŠTEVILABezjak, Katja (Avtor) Eremita, Daniel (Mentor) Diofant-Davenportov problemGaussova cela številadiofantska četvorkakompleksna diofantska četvorka.Grški matematik Diofant je ugotovil, da ima množica racionalnih števil {1/16,33/16,17/4 ,105/16} tako lastnost, da je produkt poljubnih dveh različnih števil iz te množice povečan za 1, kvadrat racionalnega števila. Prvo množico naravnih števil z zgornjo lastnostjo je našel Fermat. To je množica {1,3,8,120}. Davenport in Baker pa sta leta 1969 dokazala, da če je d tako naravno število, da ima množica {1,3,8,d} Diofantovo lastnost, potem je d =120. Naj bo z Gaussovo celo število in naj bo m≥2 naravno število. Množica neničelnih Gaussovih celih števil {a_1,a_2,..,a_m } ima lastnost D(z), če je produkt poljubnih dveh različnih elementov te množice povečan za z, kvadrat Gaussovega celega števila. Taki množici pravimo kompleksna diofantska m-terica z lastnostjo D(z). V diplomskem delu bomo dokazali (izrek 3.2.1), da v primeru, ko je b liho celo število ali če je a≡b≡2 (mod 4), potem kompleksna diofantska četvorka z lastnostjo D(a+bi) ne obstaja. Dokazali bomo tudi (posledica 3.2.2), da obstajata vsaj dve neekvivalentni kompleksni diofantski četvorki z lastnostjo D(z), če je Gaussovo celo število z možno zapisati kot razliko kvadratov dveh Gaussovih celih števil in z∉{±2,±1±2i,±4i}. Zadnji del diplomskega dela je namenjen obravnavi kompleksnih diofantskih četvork z lastnostjo D(l^2 ). Dokazali bomo tudi ( izrek 3.3.2), da vsak diofantski kompleksni par {a,b} z lastnostjo D(l^2), kjer ab ni popoln kvadrat, lahko razširimo do kompleksne diofantske četvorke z lastnostjo D(l^2) na neskončno načinov.[K. Bezjak]20112011-05-02 20:21:56Diplomsko delo18194sl