Togi kontinuumi in inverzne limiteKac, Teja (Avtor) Črepnjak, Matevž (Mentor) kontinuuminverzna limitaposplošena inverzna limitainverzno zaporedjevečlična funkcijaCookov kontinuumtog kontinuumstopnja togostizvezda kontinuumovpot kontinuumovcikel kontinuumovenostavna pahljača Cookovih kontinuumovkompakten metrični prostorireducibilen kontinuummarkovska particijamarkovska funkcijamarkovski sistemV doktorski disertaciji bomo preučevali inverzne limite inverznih zaporedij in inverzne limite inverznih zaporedij s kontinuumi (ali kompaktnimi metričnimi prostori) z navzgor polzveznimi veznimi funkcijami, ki jih na kratko imenujemo posplošene inverzne limite. Glavni vprašanji, s katerimi se ukvarjamo v disertaciji, sta: za katere kontinuume $X$ velja, da je inverzna limita inverznega zaporedja kontinuumov $X$ in zveznih surjektivnih funkcij iz $X$ v $X$ homeomorfna $X$, in kakšni morata biti dve inverzni zaporedji, da bosta inverzni limiti teh zaporedij homeomorfni. V prvem poglavju podamo nekatere osnovne pojme, kot so kontinuum, inverzna limita in posplošena inverzna limita. Podamo tudi nekatere znane primere kontinuumov. Dokažemo izreka o inverznih limitah in posplošenih inverznih limitah, ki jih uporabimo v kasnejših poglavjih. V drugem poglavju disertacije definiramo pojme Cookov kontinuum, $\frac{1}{n}$-tog kontinuum, $0$-tog kontinuum in stopnja togosti kontinuuma. Dokazali bomo nekatere lastnosti Cookovih kontinuumov. Nato definiramo zvezdo kontinuumov, pot kontinuumov in cikel kontinuumov. Sledijo izreki, ki določijo stopnjo togosti izbranih zvezd, poti in ciklov kontinuumov. Nato še definiramo enostavno pahljačo Cookovih kontinuumov ter dokažemo, da je stopnja togosti te enostavne pahljače Cookovih kontinuumov enaka neskončno. V zadnjem razdelku drugega poglavja si ogledamo inverzne limite izbranih zvezd kontinuumov, poti kontinuumov, ciklov kontinuumov in enostavne pahljače Cookovih kontinuumov z zveznimi surjektivnimi funkcijami. Na koncu poglavja podamo neštevno družino paroma nehomeomorfnih kontinuumov s stopnjo togosti enako neskončno, katerih inverzna limita z zveznimi surjektivnimi funkcijami je homeomorfna osnovnemu kontinuumu. Omenimo, da s podano družino ne podamo popolne klasifikacije takšnih kontinuumov. Tretjo poglavje je razdeljeno na dva glavna dela. V prvem delu definiramo razne nove pojme, katerih osnovni prostori so drevesa. Osredotočili se bomo na homeomorfnost posplošenih inverznih limit inverznih zaporedij, katerih koordinatni prostori so prav tako drevesa, vezne funkcije pa morajo zadostovati prej omenjenim definicijam. V drugem delu pa so definicije osnovane na kompaktnih metričnih prostorih. Dokazali bomo izrek o homeomorfnosti posplošenih inverznih limit inverznih zaporedij kompaktnih metričnih prostorov z ustreznimi večličnimi navzgor polzveznimi funkcijami. V zadnjem poglavju so podana nekatera odprta vprašanja in predstavljene so smeri za nadaljnjo raziskovalno delo.[T. Kac]20242024-09-24 16:59:19Doktorsko delo/naloga90810sl