20.500.12556/DKUM-87171 Porazdelitev kvadratnih ostankov magistrsko delo Distribution of quadratic residues na enovitem magistrskem študijskem programu Predmetni učitelj, usmeritev izobraževalna matematika Kvadratni ostanek lihega praštevila p je tako celo število a, da ima kongruenčna enačba x^2≡a (mod p) vsaj eno rešitev x, pri čemer sta si števili a in p tuji. Če omenjena enačba nima rešitve, je a kvadratni neostanek lihega praštevila p. V magistrskem delu proučujemo kvadratne ostanke lihega praštevila p ter njihove lastnosti. V prvem delu spoznamo Legendrov simbol in njegove lastnosti ter Eulerjev kriterij za določanje vrednosti Legendrovega simbola. Nato se vprašamo, kdaj je število -1 kvadratni ostanek lihega praštevila p in kdaj je število 2 kvadratni ostanek lihega praštevila p. Kasneje spoznamo še modularne kvadratne korene, torej med seboj nekongruentne rešitve enačb oblike x^2≡a (mod pq), kjer sta p in q različni lihi praštevili. To tehniko prikažemo v praktičnem primeru – elektronski met kovanca. V drugem delu se posvetimo iskanju parov in trojic zaporednih naravnih števil, ki so kvadratni ostanki lihega praštevila p. Prav tako obravnavamo pare zaporednih naravnih števil, ki so kvadratni neostanki lihega praštevila p, ter takšne pare zaporednih naravnih števil, kjer je eno kvadratni ostanek, drugo pa kvadratni neostanek lihega praštevila p. Quadratic residue of an odd prime p is a positive integer a such that the congruence x^2≡a (mod p) has at least one solution x, where integers a and p are relatively prime. If the congruence has no such solution, then the integer a is called a quadratic nonresidue modulo p. In this master thesis we study quadratic residues of odd primes p and some of their properties. In the first part we focus on the Legendre symbol and its' properties as well as the Euler criterion that helps us determine the value of Legendre symbols. Then we pose a question; when is the integer -1 a quadratic residue modulo p and when is the integer 2 a quadratic residue modulo p. After that we move on to modular square roots, the four noncongruent solutions of congruences x^2≡a (mod pq), where p and q represent two different odd primes. This technique is then used in a practical example – flipping coins electronically. In the second part of the thesis we focus on finding two or three consecutive positive integers that are quadratic residues modulo p. We also consider pairs of consecutive positive integers where both are quadratic nonresidues modulo p and such pairs where one of the integers is a residue modulo p and the other is not. Praštevila kvadratni ostanki kvadratni neostanki Legendrov simbol kongruenčna enačba pari zaporednih kvadratnih ostankov trojice zaporednih kvadratnih ostankov modularni kvadratni koren. quadratic resiues quadratic nonresidues prime numbers congruence Legendre symbol pairs of consecutive quadratic residues triplets of consecutive quadratic residues modular square roots. true true false M. Možina Slovenski jezik Angleški jezik Magistrsko delo/naloga 2024-02-28 10:21:24 2024-03-18 08:02:56 2024-03-19 03:27:31 0000-00-00 00:00:00 2024 0 Maribor 0 Maribor 38 f. 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 511.17(043.2) 189019907 EMAG_Mozina_Maja_2024.pdf EMAG_Mozina_Maja_2024.pdf 1 98215F7946F7D5F72F78C57114593FC9 c933579a343ee865b315df79113b1649ce18659244503f94b6b5ba7a7091753b 1dc1f3d9-d61c-11ee-82a8-00155d000105 https://dk.um.si/Dokument.php?lang=slv&id=176462 Fakulteta za naravoslovje in matematiko 0 0 0