20.500.12556/DKUM-95159 Graf deliteljev niča komutativnega kolobarja The Zero-Divisors Graph of a Commutative Ring Graf deliteljev niča $\Gamma(R)$ komutativnega kolobarja $R$ povezuje teorijo kolobarjev s teorijo grafov. Vozlišča grafa deliteljev niča so neničelni delitelji niča, povezava med vozliščema $x$ in $y$ pa obstaja, kadar je $xy=0$. Cilj naloge je raziskati, kako lastnosti kolobarja (noetherskost, artinskost, lokalnost, končnost) vplivajo na strukturo grafa deliteljev niča ter obratno, katere informacije o kolobarju lahko razberemo iz grafa deliteljev niča. Vsak graf na vsaj treh vozliščih lahko predstavimo kot graf deliteljev niča nekega kolobarja, za grafe na več kot treh vozliščih pa to ne drži. Velja, da je vsak graf deliteljev niča nekega komutativnega kolobarja povezan in da ima premer manjši od štiri. Če vsebuje cikel, je dolžina najkrajšega cikla manjša ali enaka sedem. Če obravnavamo komutativne artinske kolobarje, katerih graf deliteljev niča vsebuje cikel, je dolžina najkrajšega cikla manjša ali enaka štiri. V grafu deliteljev niča obstaja vozlišče, ki je povezano z vsakim drugim vozliščem natanko takrat, ko je bodisi $R \cong \mathbb{Z}_2 \times A$, pri čemer je $A$ cel kolobar bodisi je $Z_0(R)$ anihilatorski ideal. Obravnavamo še polne grafe in pokažemo, da če je $\Gamma(R)$ polni graf, potem je bodisi $R \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ bodisi je $R$ lokalni kolobar. Na koncu še dokažemo, da je graf deliteljev niča z več kot tremi vozlišči graf zvezda natanko takrat, ko je $R \cong \mathbb{Z}_2 \times F$, pri čemer je $F$ končno polje. Velja tudi, da ima graf zvezda $p^n$ vozlišč, pri čemer je $p$ neko praštevilo in $n \in \mathbb{N}_0$ in obratno, vsak graf zvezda velikosti $p^n$ je lahko graf deliteljev niča. The zero-divisor graph $\Gamma(R)$ of a commutative ring $R$ connects ring theory with graph theory. The vertices of the zero-divisor graph are the nonzero zero-divisors, and two vertices $x$ and $y$ are adjacent whenever $xy=0$. The aim of this work is to analyze how properties of the ring (Noetherian, Artinian, local, finite) influence the structure of the zero-divisor graph, and conversely, what information about the ring can be deduced from the zero-divisor graph. Every graph with at least three vertices can be represented as the zero-divisor graph of some ring, but this does not hold for graphs with more than three vertices. It is known that every zero-divisor graph of a commutative ring is connected and has diameter less than four. If it contains a cycle, then the length of the shortest cycle is at most seven. In the case of commutative Artinian rings whose zero-divisor graph contains a cycle, the length of the shortest cycle is at most four. A vertex in the zero-divisor graph is adjacent to every other vertex if and only if either $R \cong \mathbb{Z}_2 \times A$ with $A$ an integral domain, or $Z_0(R)$ is an annihilator ideal. We also consider complete graphs and show that if $\Gamma(R)$ is complete, then either $R \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ or $R$ is a local ring. Finally, we prove that the zero-divisor graph with more than three vertices is a star graph if and only if $R \cong \mathbb{Z}_2 \times F$, where $F$ is a finite field. It also holds that a star graph has $p^n$ vertices, where $p$ is a prime and $n \in \mathbb{N}_0$, and conversely, every star graph of size $p^n$ can occur as a zero-divisor graph. komutativen kolobar delitelj niča graf deliteljev niča commutative ring zero divisor zero divisor graph true true false [E. Petauer] Slovenski jezik Angleški jezik Magistrsko delo/naloga 2025-09-08 09:47:35 2025-10-08 14:23:17 2025-10-15 10:52:25 0000-00-00 00:00:00 2025 0 Maribor 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 519.17(043.2) 252338435 MAG_Petauer_Eva_2025.pdf MAG_Petauer_Eva_2025.pdf 1 08342885377894C556D5CE3E10A44000 c014a0961d972ec8cd7f3b792770f6d6e5ab937984d9ccd79c62099ac9934be1 ac564377-8ca0-11f0-9059-00155d000105 https://dk.um.si/Dokument.php?lang=slv&id=197854 Fakulteta za naravoslovje in matematiko 0 0 0